Filtro de Chebyshev

Los filtros de Chebyshev son un tipo de filtro electrónico, puede ser tanto analógico como digital.

Historia

Nombrados en honor de Pafnuti Chebyshev. La función matemética que aproxima su respuesta en frecuencia utiliza los polinomios de Chebyshev.

Introducción

● Son usados para separar bandas de frecuencias (Pasa-bajos, pasa-altos,
pasa-banda o suprimebanda)
● Tienen desempeño mas limitado que los filtros senoc-enventanado, pero
son apropiados en la mayoría de las aplicaciones.
● Son filtros recursivos y por lo tanto, muy rápidos de ejecutar.
● Su origen proviene de la imitación de filtros analógicos equivalentes,
aprovechando el hecho de que la teoría de filtros analógicos tiene siglos
de desarrollo.

● Están diseñados para tener el roll-off mas rápido posible a costa de
permitir ripple. Son filtros óptimos en este sentido: dado el orden (cantidad
de polos) y el ripple permitido, tienen el roll-off óptimo.
● El ripple está presente en la banda pasante o en la banda atenuante, pero
no en ambas.
● Involucran un compromiso entre el roll-off y el ripple. Cuanto mayor es el
ripple permitido, mas rápido es el roll-off.
● Pueden diseñarse para que el ripple sea nulo. En este caso, reciben un
nombre especial: filtro Butterworth.

Clasificación de filtros Chevyshev

Filtros Butterworth (sin ripple)
Tipo I: Ripple en la banda pasante
Tipo II: Ripple en la banda atenuante

● No tienen ripple.
● Se diseñan especificando tres parámetros: el tipo de respuesta
(pasabajos, pasaltos), la frecuencia de corte y el orden.
● Al aumentar el orden, el roll-off mejora (dejando la frecuencia de corte
constante).
● Al aumentar el orden, crece el retardo de grupo, o equivalentemente, la
fase es menos lineal.
● El roll-off depende de la frecuencia de corte para un orden fijo.

Descripción

Con los filtros de Chebyshev se consigue una caída de la respuesta en frecuencia más pronunciada en frecuencias bajas debido a que permiten rizado en alguna de sus bandas (paso o rechazo). A diferencia del Filtro de Butterworth donde los polos se distribuyen sobre una circunferencia, los polos del filtro Chebyshev lo hacen sobre una elipse; sus ceros se encuentran en el eje imaginario.

Se conocen dos tipos de filtros Chebyshev, dependiendo del rizado en alguna banda determinada:

Filtros de Chebyshev de tipo I

Son filtros que únicamente tienen polos, presentan un rizado constante en la banda pasante y presentan una caída monótona en la banda de rechazo.

la respuesta en frecuencia es:

$\left | H( \Omega ) \right | ^2 = \frac{1}{1+ \epsilon ^2 T_N ^2 \left ( \frac { \Omega }{ \Omega_c } \right )}$ para $0 \le \epsilon \le 1$

donde N es el orden del filtro,

Ω c

es la frecuencia de corte,

Ω

es la frecuencia analógica compleja (

Ω

=j w) y

T N (x)

es el polinomio de Chebyshov de orden N, que se define como:

 con  $T 0 (x) = 1$  y  $T 1 (x) = x$

En estos filtros la frecuencia de corte no depende de N y el módulo de su respuesta en frecuencia oscila (rizado) entre 1 y $1 \over { \sqrt{1+\epsilon ^2}}$ .

Roll-off al variar el ripple permitido en la banda pasante (orden = 4, fc = pi/2)

Diagrama de polos y ceros al variar el ripple permitido en la banda pasante

Filtros de Chebyshev de tipo II

Estos filtros a diferencia de los Chebyshev I presentan ceros y polos, su rizado es constante en la banda de rechazo y además presentan una caída monotónica en la banda pasante.

Su respuesta en frecuencia es:

$\left | H( \Omega ) \right | ^2 = \frac{1}{1+ \epsilon ^2 \cdot \frac{T_N ^2 \left ( \Omega_s / \Omega_c \right)} {T_N ^2 \left ( \Omega_s / \Omega \right )}}$ para $0 \le \epsilon \le 1$

En un diagrama de circunferencia unidad, los polos estarían en una elipse y los ceros sobre el eje imaginario.

Roll-off al variar el ripple permitido en la banda atenuada (orden = 4, fc = pi/2)

Diseño

● Se diseñan especificando tres cuatro parámetros: el tipo de respuesta
(pasabajos, pasaltos), la frecuencia de corte, el orden y el ripple en
decibeles (en la banda pasante si es de tipo I o en la banda atenuada si
es de tipo II).
● Al aumentar el orden, el roll-off mejora (dejando la frecuencia de corte
constante y el ripple constante).
● Al permitir mayor ripple, el roll-off mejora.
● El roll-off depende de la frecuencia de corte para un orden y ripple fijo.

Filtros Chebyshev

jueves, 6 de enero de 2011

miércoles, 5 de enero de 2011

ENLACES

martes, 7 de diciembre de 2010

Filtro de Chebyshev

Filtros de Chebyshev de tipo I

Filtros de Chebyshev de tipo II

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