Filtros Chebyshev: Avances

COMUNICACIONES II

FILTROS CHEBYSHEV

GRUPO:

ANDREA CABRERA

JAVIER MOSQUERA

ALVARO TIXI

ANABEL TORRES

AVANCE DE LA INVESTIGACION

INTRODUCCION

La teoría de los filtros es una de las áreas más importantes y más usada en Electrónica desde los orígenes, esto se debe a la necesidad de poder controlar y limitar las señales electrícas en el dominio de la frecuencia, para que un sistema responda de diferente manera para señales de una frecuencia o de otra.

Debido a las características de los op-amp, estos se utilizan mucho en el diseño de filtros activos. Actualmente una de las áreas de investigación más importante es la de el diseño de filtros activos que características muy especiales para un gran número de aplicaciones, de aquí la importancia de empezar a introducirse en esta área.

QUE SON FILTROS

Se puede decir que filtro es un mecanismo diseñado con el propósito de deja pasar señales con unas frecuencias determinadas, mientras que atenúa considerablemente las demás frecuencias.

FILTROS CHEBYSHEV

Estos filtros son nombrados en honor de Pafnuty Chebyshev, están relacionados con los filtros de Butterworth. Este nombre se debe a que sus características matemáticas se derivan del uso de los polinomios de Chebyshev.

Con los filtros de Chebyshev se consigue una caída de la respuesta en frecuencia más pronunciada en frecuencias bajas debido a que permiten rizado en alguna de sus bandas (paso o rechazo). A diferencia del Filtro de Butterworth donde los polos se distribuyen sobre una circunferencia, los polos del filtro Chebyshev lo hacen sobre una elipse; sus ceros se encuentran en el eje imaginario.

En la figura se ilustran funciones de transmisión representativas para filtros

Chebyshev de órdenes par e impar. El filtro Chebyshev exhibe una respuesta igualmente ondulada en la banda pasante y una transmisión monótonamente decreciente en la banda suprimida. Mientras que el filtro de orden impar tiene T(0) =1,

Existen dos tipos de filtros chebyshev

· Filtros de Chebyshev de tipo I

· Filtros de Chebyshev de tipo II

Filtros de Chebyshev de tipo I

Son filtros que únicamente tienen polos, presentan un rizado constante en la banda pasante y presentan una caída monótona en la banda de rechazo.

Donde N es el orden del filtro,

Ω c

es la frecuencia de corte,

Ω

es la frecuencia analógica compleja (

Ω

=j w) y

T N (x)

es el polinomio de Chebyshov de orden N, que se define como:

Con T₀(x) = 1 y T₁(x) = x

En estos filtros la frecuencia de corte no depende de N y el módulo de su respuesta en frecuencia oscila (rizado) entre 1 y .

Filtros de Chebyshev de tipo II

Estos filtros a diferencia de los Chebyshev I presentan ceros y polos, su rizado es constante en la banda de rechazo y además presentan una caída monotónica en la banda pasante.

En un diagrama de circunferencia unidad, los polos estarían en una elipse y los ceros sobre el eje imaginario.

FILTROS CHEBYSHEV EN MATLAB

Matlab tiene varias formas para generar filtros Chebyshev, a continuación se verán cada una y se explicarán con un diseño práctico:

TIPO I

[z,p,k]=cheb1ap(n,Rp)

Esta instrucción regresa ceros, polos y ganancia de un filtro Chebyshev de n orden pasa bajas, donde Rp es la magnitud en decibeles del rizo. La función de transferencia que trabaja este filtro es la siguiente :

La frecuencia de corte está normalizada a W=1rad.

Diseñemos un filtro analógico pasa-bajas ideal de grado 5 y un rizo de 3 decibeles:

n=5;Rp=3; se establece los parámetros del filtro

[z,p,k]=cheb1ap(n,Rp)

A continuación matlab regresará los polos y ganancia que pueden existir para tal filtro.

z =[]

p =-0.0549+ 0.9659i
-0.1436+ 0.5970i
-0.1775+ 0.0000i
-0.1436- 0.5970i
-0.0549- 0.9659i

k =0.0626

TIPO II

[z,p,k]=cheb2ap(n,Rs)

Regresa los polos, ceros y ganancia de un filtro Chebyshev tipo II de n orden, donde Rs es la magnitud de amortiguamiento después de la frecuencia de corte la cual está normalizada a 1, el inconveniente es que solo sirve para LPF. Este comando responde a la función de transferencia:

Diseñemos un filtro pasa-bajas de quinto grado con una atenuación de 3 decibeles para así poder comparar con el cheb1ap.

n=5;Rp=3; se establece los parámetros del filtro

[z,p,k]=cheb2ap(n,Rp)

De forma inmediata matlab entrega los polos, ceros y ganancia posibles para el filtro establecido

z = 0+ 1.0515i
0- 1.0515i
0+ 1.7013i
0- 1.7013i

p =-0.0584- 1.0321i
-0.3797- 1.5843i
-5.6546- 0.0000i
-0.3797+ 1.5843i
-0.0584+ 1.0321i

k = 5.0119